A ssociation pour l' I nnovation D idactique C entre de R echerche et d'E xpérimentation pour l'E nseignement des M athématiques | Les fonctions cosinus et sinus §4 et 5 Date de mise à jour : 1/1/2003

Classe | Prénom et Nom | Prénom et Nom

4. Fonction cosinus

Définition

La fonction cosinus est définie sur IR et à tout réel x, elle associe cos(x).

Propriétés

On démontre que :

1. La fonction cosinus est périodique de période 2 p : | pour tout réel x, cos( x + 2 p) = cos(x).

2. La fonction cosinus est paire : | pour tout réel x, cos( -x ) = cos(x).

Construction de la courbe de la fonction cosinus

Dans la figure 1a, le point M est associé au réel x sur le cercle trigonométrique et a = cos(x). Dans la figure 1b, on a construit le point C d'abscisse x et d'ordonnée a.
Construire la courbe |  | Lorsque x varie dans la figure 1a, les valeurs de x et a sont transmises à la figure 1b. Le point C décrit alors la courbe de la fonction cosinus.
Pour construire la courbe, appuyer sur le bouton ci-dessus, rendre la figure 1a active en cliquant sur son dessin, modifier la valeur de x à l'aide du clavier pour voir la courbe demandée se tracer. | Figure 1a

Figure 1b Courbe de la fonction cosinus

Observer la courbe Illustrer la périodicité de la fonction

Interprétation graphique de la périodicité de la fonction cosinus
Pour chaque point P de la courbe de la fonction cosinus, son image par la translation de vecteur 2 p
appartient encore à la courbe. On dit que la courbe de la fonction cosinus est invariante par la translation de vecteur 2 p
.

5. Fonction sinus

Définition

La fonction sinus est définie sur IR et à tout réel x, elle associe sin(x).

Propriétés

On démontre que :

1. La fonction sinus est périodique de période 2 p : | pour tout réel x, sin( x + 2 p) = sin(x).

2. La fonction sinus est impaire : | pour tout réel x, sin( -x ) = - sin(x).

Construction de la courbe de la fonction sinus

Dans la figure 2a, le point M est associé au réel x sur le cercle trigonométrique et b = sin(x). Dans la figure 2b, on a construit le point S d'abscisse x et d'ordonnée b.
Construire la courbe |  | Lorsque x varie dans la figure 2a, les valeurs de x et b sont transmises à la figure 2b. Le point S décrit alors la courbe de la fonction sinus.
Pour construire la courbe, appuyer sur le bouton ci-dessus, rendre la figure 2a active en cliquant sur son dessin, modifier la valeur de x à l'aide du clavier pour voir la courbe demandée se tracer. | Figure 2a

Figure 2b Courbe de la fonction sinus

Observer la courbe Illustrer la périodicité de la fonction

Interprétation graphique de la périodicité de la fonction sinus
Pour chaque point Q de la courbe de la fonction sinus, son image par la translation de vecteur 2 p
appartient encore à la courbe. On dit que la courbe de la fonction sinus est invariante par la translation de vecteur 2 p
.

Exercice 4

Sur la figure 3, la courbe G est la courbe représentative de la fonction sinus. Pour chaque point M de la courbe G, on considère le point M', image de M par la translation de vecteur
. Lorsque M décrit la courbe G, M' décrit une courbe G' qui est représentée dans la figure. On dit que G' est l'image de G par la translation de vecteur
.
Le point A est fixe et le point B est libre.

Modifier la position du point B pour que G' soit la courbe de la fonction cosinus.

La position de B peut être modifiée en le saisissant avec la souris. Après avoir activé la figure 3, le point B peut aussi être piloté au clavier. En appuyant sur la touche M, c'est le point M qui devient pilotable au clavier. Appuyer ensuite sur la touche B pour pouvoir de nouveau piloter B au clavier.

Figure 3