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|  | Dans ce document, les figures sont des figures-Géoplan. Pour agir sur une figure, il faut la rendre active en cliquant dessus. Sa bordure apparaît alors et elle réagit au clavier. Convergence d'une suite de fonctions résumé de cours Soit n une variable entière. On définit une suite de fonctions quand pour chaque valeur de n, on a défini une fonction .
Exemple 1 La figure ci-contre montre la courbe représentative de la fonction x |® sin sur [0, 20] On peut agir sur n par les flèches du clavier. (pour la clarté du dessin, n est limité à 200) |
Exemple 2 La figure ci-contre montre la courbe représentative de la fonction x |® sur [-20, 20] On peut agir sur n par les flèches du clavier. (pour la clarté du dessin, n est limité ici à 40) |
En utilisant le logiciel Geoplan-Geospace, il est très facile et surtout très instructif de construire ainsi de nombreux exemples. Quand n augmente, on voit sur les exemples précédents que se pose la question de l'évolution de la fonction fn et celle de la signification de sa "limite quand n® +¥". Pour que cette question ait un sens, il faut définir ce qu'on entend par limite d'une suite de fonctions. Contrairement à la notion de limite d'une suite numérique, il existe plusieurs notions de limite pour une suite de fonctions. Nous allons en décrire quelques unes avec des exemples. Convergence ponctuelle (dite aussi convergence simple) Soit une suite de fonctions fn qu'on suppose toutes définies sur le même ensemble E. On dira qu'elle converge simplement sur cet ensemble E si pour chaque valeur de x dans E, chacune des suites numériques fn(x) converge (c'est-à-dire a une limite). La limite ponctuelle de la suite de fonctions est la fonction x |® .
Exemple 3 La figure ci-contre montre la courbe de x |® xn sur [0, 1] On modifie n entre 0 et 100 par les flèches. Ici, il y a convergence ponctuelle car = La fonction limite ainsi définie est représentée en bleu. On peut la faire apparaître ou disparaître en enfonçant la barre d'espace quand la figure est active. |
Une suite de fonction peut ne pas converger ponctuellement; il suffit qu'en au moins une valeur de x de E, la suite fn(x) n'ait pas de limite. C'est le cas, par exemple de la fonction x |® sin de la figure 1, car quand x est fixé strictement positif, tend vers l'infini et on peut démonter que son sinus n'a pas de limite. Convergence uniforme sur un ensemble Norme de la convergence uniforme Soit f une fonction définie sur un ensemble E et bornée (c'est-à-dire qu'il existe un majorant pour l'ensemble de tous les nombres |f(x)|). La borne supérieure de cet ensemble s'appelle la "norme de f pour la convergence uniforme". (c'est le plus petit majorant de l'ensemble de tous les nombres |f(x)|) Ainsi, si on note ||f|| ce nombre, on a ||f|| = Sup{|fn(x)|, x Î E} Il se peut que cette valeur soit atteinte pour une valeur de x, c'est à dire que la fonction |f| : x |® |f(x)| ait un maximum. ||f|| est alors la valeur de ce maximum. C'est toujours le cas quand f est continue et que l'ensemble E est un intervalle fermé. Convergence uniforme vers la fonction nulle Soit une suite de fonctions définies et bornées sur un même ensemble E. La locution " converge uniformément sur E vers la fonction nulle" signifie que ; autrement dit que Sup{| (x)|, x Î E} a pour limite 0 quand n tend vers l'infini. Comme |fn(x)| £ Sup{|fn(x)|, x Î E} pour tout x de E, si le Sup a pour limite 0, alors fn(x) a pour limite 0 pour tout x de E; par suite fn converge ponctuellement sur E vers la fonction nulle.
Exemple 4 La figure ci-contre montre la courbe représentative de la fonction x |® sur l'intervalle [0, 20] On peut agir sur n par les flèches du clavier. Il est facile de démontrer que cette suite de fonction converge uniformément vers la fonction nulle sur tout intervalle [a, b] |
Exemple 5 La figure ci-contre montre la courbe représentative de la fonction x |® sur R On peut agir sur n par les flèches du clavier. Sur la figure, on a limité x à [-20, 20] Il est facile de démontrer que cette suite de fonction converge uniformément vers la fonction nulle sur R. |
Un moyen pour démontrer qu'une suite de fonction fn converge uniformément vers la fonction nulle consiste à étudier le maximum de sa valeur absolue |fn| en cherchant les extremums de la fonction fn. Cependant, il se peut que |fn| n'ait pas de maximum; donnons en un exemple:
Exemple 6 La figure ci-contre montre la courbe représentative de la fonction : x |® sur [0, 1] On peut agir sur n par les flèches du clavier. |
Cette suite de fonction converge uniformément vers la fonction nulle sur [0, 1] car sa valeur absolue y est inférieure à qui a pour limite 0. La fonction | | n'a cependant pas de maximum sur [0, 1]. Convergence uniforme Dire qu'une suite de fonction fn converge uniformément vers une fonction f signifie que la différence fn-f converge uniformément vers 0. Cela signifie que , autrement dit Sup{ x Î E} a pour limite 0 quand n tend vers l'infini.
Exemple 7 La figure ci-contre montre la courbe représentative de la fonction : x |® sur R On peut agir sur n par les flèches du clavier. Sur la figure, on a limité x à [-10, 10] Il est facile de démontrer que cette suite de fonction converge uniformément sur R vers la fonction f : x |® x2. La barre d'espace permet de basculer l'affichage de la limite. |
La convergence ponctuelle n'entraîne pas toujours la convergence uniforme La convergence uniforme entraîne bien la convergence ponctuelle mais l'inverse est faux: on peut avoir une suite de fonctions qui converge ponctuellement mais pas uniformément.
Exemple 8 La figure ci-contre montre la courbe représentative de la fonction fn : x |® nxe-nx sur [0, 1] On peut agir sur n par les flèches du clavier. Il est clair que cette suite de fonctions converge ponctuellement sur [0, 1] vers la fonction nulle car, quand x est fixé strictement positif, nx tend vers + ¥ , et le quotient tend vers 0 avec n car "l'exponentielle l'emporte". |
Dans cet exemple, il n'y a pas convergence uniforme vers la fonction nulle. En effet, a un maximum: on l'obtient en calculant sa dérivée qui vaut et qui s'annule pour x = . On en déduit que le maximum de fn vaut e-1. La norme ||fn|| est donc constante et vaut e-1 . Elle n'a pas pour limite 0. Pour mieux apprécier le phénomène, on peut simplifier cet exemple en utilisant une fonction affine par morceaux sur l'intervalle [0, 1] : x |®
Exemple 9 La figure ci-contre montre la courbe représentative de cette fonction affine par morceaux. Elle est constituée de trois segments, oA, AB et BC A a pour coordonnées ( , 1) B a pour coordonnées ( , 0) C a pour coordonnées (1, 0) On peut agir sur n par les flèches du clavier. |
Si x est fixé dans ]0, 1], alors pour n > , l'abscisse de B est inférieure à x et donc (x)=0. Comme (0)=0, on a bien pour tout x dans [0, 1]. Il y a donc convergence ponctuelle vers la fonction nulle sur [0, 1]. Pourtant, il n'y a pas convergence uniforme puisque fn a un maximum qui vaut 1 et que par suite ||fn|| est constante et vaut 1.