Association pour l'Innovation Didactique Centre de Recherche et d'Expérimentation pour l'Enseignement des Mathématiques
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Dans ce document, les figures sont des "figures-Géospace". Chacune est interactive : par exemple, avec la souris, bouton droit enfoncé, on peut "la faire tourner". D'autres actions, dépendant de la figure, seront possibles. Elles seront signalées dans chaque cas. Pour activer une telle figure, cliquer dessus : le cadre apparaît qui indique qu'elle est active. Il est conseillé d'utiliser l'option "Plein écran" du menu "Affichage"

Patron d'un tétraèdre

Un tétraèdre La figure représente un tétraèdre (solide à quatre faces triangulaires). Rendre la figure active en cliquant dans sa fenêtre. Faire tourner pour observer différentes vues. Les sommets A, B et C ont été bloqués mais le sommet S est un point libre dans l'espace. Déplacer le sommet S pour modifier le tétraèdre. Un patron Il est possible de découper suivant les arêtes SA, SB et SC et d'ouvrir le tétraèdre jusqu'à en faire un "patron" plan composé des quatre triangles. Pour ouvrir ou fermer : flèches du clavier Ainsi obtient-on un patron plan à partir d'un tétraèdre. Le problème se pose maintenant de savoir comment sont faits les.assemblages de quatre triangles ABC, AUB, AVC, BWC qui peuvent se refermer pour donner un tétraèdre. |

Comment construire un tétraèdre en papier?
On part d'un triangle ABC fixé. Comment les triangles AUB et AVC peuvent se "recoller" par pliage?
Pour commencer, on fixe U dans le plan et on cherche à placer le point libre V dans la Figure-Géoplan.
Le triangle AVC de la figure-Géospace a mêmes dimensions que celui de la Figure-Géoplan (car celle-ci communique à la figure-Géospace les modifications des positions des point V), mais il y est indéformable. Sur la figure-Géospace, on peut déplacer les points U et V, mais seulement pour plier et tenter de faire coïncider AU et AV dans l'espace.
Essayez de placer V dans la figure-Géoplan afin que les segments AU et AV puissent coïncider par pliage autour de AB et AC dans la figure-Géospace :

Figure-Géoplan | Figure-Géospace (bouton droit pour tourner, Ctrl-F1 pour annuler)

Quand U est fixé dans la figure-Géoplan, U décrit un cercle fixe d'axe AB, dans la figure-Géospace. De même quand V est fixé dans la figure-Géoplan, V décrit un cercle d'axe AC dans la figure-Géospace.
Dire que les segments AU et AV peuvent coïncider dans l'espace par pliage signifie que ces cercles se coupent. Pour cela, il faut que AU = AV .

Mais l'égalité AU = AV n'est pas suffisante. Pour le montrer, placez V dans la figure-Géoplan
Quand U est fixé dans la figure-Géoplan et que AU = AV, V est sur le cercle de centre A et de rayon AU. Pour que la réalisation en papier soit possible, il faut que B et V soient de part et d'autre de AC, sinon les triangles ABU et ACV se recouvreraient en partie. On doit se limiter à un demi-cercle, partie du cercle de centre A et de rayon AU située du côté de AC qui ne contient pas B.
Mais seule une partie de ce demi-cercle convient pour les positions de V qui donnent un tétraèdre. Construisez-la dans la figure plane en l'appelant L.