Association pour l'Innovation Didactique Centre de Recherche et d'Expérimentation pour l'Enseignement des Mathématiques
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|  | Orthogonalisation de Schmidt Illustration Introduction E est un sous-espace euclidien de dimension finie d'un espace euclidien. On suppose que E est défini par une de ses bases. Le problème est le suivant: Comment construire une base orthonormale de E? Une réponse à ce problème est fournie par le "procédé d'orthogonalisation de Schmidt", qui est illustré ici en géométrie élémentaire dans le plan, puis dans l'espace. Illustration en géométrie élémentaire Pour "voir", on fixe un point O; pour chaque vecteur on prendra un représentant d'origine O. Dimension de E = 2 ; les représentations se font avec Geoplan.
E est alors interprété comme un plan vectoriel. Soit et deux vecteurs de ce plan et qui en forment une base. et sont représentés par et . On cherche deux vecteurs et formant une base orthogonale de E. On commence par = . Les points A et B sont libres dans la figure 1 | figure-Geoplan n°1
Soit le projeté orthogonal de B sur la droite OA. On prend = . On va exprimer à l'aide de et . Comme est colinéaire à , il existe a tel que . Par la relation de Chasles, , donc . Pour calculer a, on écrit la perpendicularité ^ sous la forme . Ceci donne l'équation d'où on tire . En divisant et par leurs normes respectives, on a la base cherchée ( , ). | figure-Geoplan n°2
Dimension de E = 3 ; les représentations se font avec Geospace. Pour mieux constater les orthogonalités, ne pas hésiter à faire tourner avec la souris, bouton droit enfoncé.
On part des vecteurs , , et formant une base de E et représentés par , et . Dans la figure-Geospace n°1, les points A, B sont libres dans leur plan et C est libre dans l'espace. On a représenté le plan OAB par un parallélogramme afin d'améliorer la visibilité. On va construire progressivement la base orthogonale , et . On commence toujours par = . En projetant B sur OA, on obtient et on prend = qu'on exprime à l'aide de et . On construit donc deux vecteurs orthogonaux et comme expliqué plus haut. | figure-Geospace n°1
On complète en prenant un vecteur perpendiculaire au plan engendré par et . Pour cela, on projette C en sur ce plan et on prend = . On exprime à l'aide de , et : = en sachant que et que 1°) est dépendant de et soit = a + b , donc = - a - b . 2°) ^ et ^ , donc et . Donc et En divisant , et par leurs normes respectives, on a la base cherchée ( , , ). | figure-Geospace n°2
Exemple en analyse Prenons par exemple pour E l'espace des fonctions de carré sommables sur [-1,1] muni de la norme L2, dérivant du produit scalaire : <f,g> = et appliquons le procédé de Schmidt à la base canonique: : x|->1 ; : x|->x ; : x|-> . En faisant les calculs comme expliqué précédemment, on trouve : : x|-> , : x|-> et : x|-> ;