Association pour l'Innovation Didactique Centre de Recherche et d'Expérimentation pour l'Enseignement des Mathématiques
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|  | Fonctions périodiques et Figures-Géoplan Les figures de ce document sont des figures-Géoplan, donc interactives. Le menu de chaque figure s'obtient en double-cliquant sur son dessin. ## Introduction Il s'agit ici de donner le moyen de faire tracer dans une figure-Géoplan la courbe représentative d'une fonction périodique assez générale. ## Exemple La figure 1 ci-dessous représente la fonction f périodique de période 1 et qui vaut 3x2 quand x Î [0, 1]. Bien entendu on n'a représenté qu'une partie de la courbe représentative et il en sera toujours ainsi dans les exemples de ce document.
Figure Geoplan n° 1 Pour voir le périodicité, faire défiler le dessin en utilisant la souris, bouton droit enfoncé ou les Majuscules - flèches horizontales du clavier. Comment la figure est-elle réalisée? L'examen du texte de la figure nous montre que la méthode utilisée est très simple: l'ingrédient principal en est la fonction partie entière dont le nom dans Géoplan est int. Rappelons que int(x) est le plus grand entier inférieur ou égal à x, ce qui se résume par: int(x) Î Z et si n = int(x) alors n £ x < n + 1 Ainsi pour calculer f(x), il suffit de chercher le nombre x0 qui diffère de x d'un nombre entier et qui est dans [0, 1[ et d'écrire que f(x) = f(x0) soit ici f(x) = 3x0 2. Comme il est clair que x0 s'obtient à partir de x par x0 = x - int(x), la fonction f représentée peut s'exprimer par f(x) = 3(x - int(x)) 2. ## Fonction de période 1 On peut évidemment remplacer la fonction x | ® 3x2 sur [0, 1[ par n'importe quelle fonction f0 sur cet intervalle ce qui donnera f(x) = f0(x - int(x)).. Comme de toutes façons x - int(x) Î [0, 1], on peut prendre pour f0 n'importe quelle fonction, seule sa restriction à [0, 1] sera utilisée. Les figure suivantes en donnent quelques exemples. L'utilisateur pourra expérimenter lui-même avec Geoplan.
Figure Geoplan n°2 f0 : x | ® 2 - 2x | Figure Geoplan n°3 f0 : x | ® 10x(1 - x)
Figure Geoplan n°4 | Figure Geoplan n°5
Pour voir le périodicité, faire défiler le dessin en utilisant la souris, bouton droit enfoncé ou les Majuscules - flèches horizontales du clavier. ## Généralisation : fonction de période T Soit a un nombre réel, T un nombre strictement positif et f0 une fonction; comment calculer et représenter la fonction f périodique de période T et égale à f0 sur [a, a + T[? Si x est un réel quelconque, on peut trouver un unique entier relatif n tel que a +nT £ x < a + (n + 1)T Cet entier doit donc vérifier n £ < n + 1 On a doncn = int ( ) et par suite On peut le vérifier sur la figure suivante où on choisit a comme abscisse du point libre A sur ox et T comme distance à A du point libre B.
Figure Geoplan n° 6 Pour voir le périodicité, faire défiler le dessin en utilisant la souris, bouton droit enfoncé ou les Majuscules - flèches horizontales du clavier. Pour modifier la valeur de a, déplacer le point A avec la souris, bouton gauche enfoncé; pour modifier la valeur de T, déplacer le point B avec la souris, bouton gauche enfoncé.