A ssociation pour l' I nnovation D idactique C entre de R echerche et d'E xpérimentation pour l'E nseignement des M athématiques | Représentations graphiques des fonctions 9 Résolution graphique d'équations f(x) = b Date de mise à jour : 1/1/2003 Retour au sommaire

Classe | Prénom et Nom | Prénom et Nom

Résolution graphique d'équations f(x) = b

f étant une fonction d'ensemble de définition D et b un réel, le but de ce chapitre est de résoudre graphiquement l'équation f(x) = b.

Exercice 1

Dans la figure Géoplan, on a représenté la courbe C d'une fonction f définie sur l'intervalle [-2.5 ; 6]. x est un réel variable. Lorsque c'est possible, on a construit le point M d'abscisse x de C. On peut changer la valeur de x à l'aide des touches du clavier après avoir cliqué sur le dessin de la figure pour la rendre active. • D'après le dessin de la courbe, existe-t-il une valeur de x telle que f(x) = ? ? En cas de réponse "Oui", donner à x dans la figure une valeur qui convient avant de cliquer sur le bouton "Oui". • D'après le dessin de la courbe, existe-t-il d'autres valeurs de x telles que f(x) = En cas de réponse "Oui", donner à x dans la figure une autre valeur qui convient avant de cliquer sur le bouton "Oui". | La fonction f est définie sur [-2.5 ; 6].

Exemple

Soit C la courbe de f dans un repère du plan. Pour tout réel x de D, le point d'abscisse x et d'ordonnée f(x) est un point de la courbe C. Résoudre graphiquement l'équation f(x) = b revient donc à chercher les abscisses de tous les points de la courbe C ayant pour ordonnée b. Or tous les points du plan d'ordonnée b sont situés sur la droite d'équation y=b. Donc on en déduit que :
Les solutions de l'équation f(x) = b sont les abscisses des points d'intersection de la courbe représentative C de f et de la droite d'équation y=b.
Dans une résolution graphique, les valeurs proposées pour les solutions doivent être accompagnées du dessin sur lequel on trace la droite d'équation y = b pour mettre en évidence les coordonnées des points d'intersection de cette droite et de la courbe de la fonction. | La fonction f est définie sur [-4 ; 5]. L'équation f(x) = 1.5 a quatre solutions ayant pour valeurs approchées -3 ; -1.9 ; 2.6 ; 4.6

Exercice 20;0;12;0
La figure Géoplan ci-dessous permet de représenter la courbe C d'une fonction f. Après le choix d'une fonction par le logiciel, vous devrez résoudre l'équation f(x) = b pour différentes valeurs de b. Deux boutons vous permettent de faire apparaître des "outils pour répondre".
Les résultats de chaque question seront copiés dans un tableau (voir ci-dessous).

Fonction n° Question n°
Liste des solutions : • Les valeurs doivent être écrites sous forme décimale avec au plus deux chiffres après la virgule. Les différentes valeurs doivent être séparées par un point virgule. • S'il n'y a pas de solution, laisser la liste vide et appuyer sur le bouton de test. Les valeurs sont testées dans l'ordre où elles sont proposées et l'analyse s'arrête dès que la valeur testée n'est pas satisfaisante. |

Résultats de l'exercice 2

Fonction n° 1

Fonction n° 2

Retour au sommaire

Figure Géoplan Numéro de version: 2 Début de [fonction cubique] A point donné B point donné xA abscisse de A (repère Roxy) xB abscisse de B (repère Roxy) yA ordonnée de A (repère Roxy) yB ordonnée de B (repère Roxy) a = 6(yA-yB)/((xB-xA)^3) b = yA-axA^2(3xB-xA)/6 f fonction: x|->a(x^3/3-(xA+xB)x^2/2+xAxBx)+b Prototype non accessible par le menu Description de l'interface f fonction cubique (sommets A et B) Premier sommet (point): Deuxième sommet 2 (point): Résultat (fonction): Aide particulière non écrite. Fin de [fonction cubique] Position de Roxy: Xmin: -4, Xmax: 7, Ymax: 8 Objet dessinable Roxy, particularités: rouge, dessiné uti réel libre Objet libre uti, paramètre: 0 A point libre Objet libre A, paramètres: -1.3, -2.6 Objet dessinable A, particularités: non dessiné B point libre Objet libre B, paramètres: 1.6, 2.6 Objet dessinable B, particularités: non dessiné C point libre Objet libre C, paramètres: 4, 0.9 Objet dessinable C, particularités: non dessiné f1 fonction cubique (sommets A et B) f2 fonction cubique (sommets B et C) D point de coordonnées (-3,f1(-3)) dans le repère Roxy Objet dessinable D, particularités: ciel foncé, nom non dessiné E point de coordonnées (6,f2(6)) dans le repère Roxy Objet dessinable E, particularités: ciel foncé, nom non dessiné xA abscisse de A (repère Roxy) xB abscisse de B (repère Roxy) xC abscisse de C (repère Roxy) xD abscisse de D (repère Roxy) xE abscisse de E (repère Roxy) yA ordonnée de A (repère Roxy) yB ordonnée de B (repère Roxy) yC ordonnée de C (repère Roxy) yD ordonnée de D (repère Roxy) yE ordonnée de E (repère Roxy) C1 graphe de f1 sur [xD,xB] (500 points, repère Roxy) Objet dessinable C1, particularités: ciel foncé, points liés C2 graphe de f2 sur [xB,xE] (500 points, repère Roxy) Objet dessinable C2, particularités: ciel foncé, points liés g1 fonction: x|->f1(x)µ(xD<=int(100x)/100<xB) g2 fonction: x|->f2(x)µ(xB<=int(100x)/100<=xE) f fonction: x|->(g1(x)+g2(x))/µ(xD<=int(100x)/100<=xE) Objets d'accès interdit: uti, A, B, C, D, E, xA, xB, yA, yB, xC, xD, yC, yD, xE, yE Objets d'accès interdit: C1, C2, g1, g2, f1, f2 Objets protégés à rappel limité: f Options interdites: 2-5,2-6,2-7,2-8,2-9,2-11,3-8,3-9,3-10,4-5,5-2,5-3,5-8,5-9,5-10 Options interdites: 5-11,5-12,5-13,6-4,6-5 Commentaire Fin de la figure Figure Géoplan Numéro de version: 2 Position de Roxy: Xmin: -6.70047820313, Xmax: 6.70047820313, Ymax: 6.70047820313 Objet dessinable Roxy, particularités: rouge, dessiné uti réel libre Objet libre uti, paramètre: 0 A point de coordonnées (-1,2) dans le repère Roxy Objet dessinable A, particularités: ciel foncé, marque épaisse D point de coordonnées (3,2) dans le repère Roxy Objet dessinable D, particularités: ciel foncé, marque non dessinée E point de coordonnées (5,-1) dans le repère Roxy Objet dessinable E, particularités: ciel foncé, marque épaisse B point de coordonnées (0,1) dans le repère Roxy Objet dessinable B, particularités: ciel foncé, marque épaisse C point de coordonnées (3,4) dans le repère Roxy Objet dessinable C, particularités: ciel foncé, marque épaisse f1 fonction: x|->1.7(x+1)+2 d57 point de coordonnées (-4,f1(-4)) dans le repère Roxy Objet dessinable d57, particularités: ciel foncé, nom à gauche, marque non dessinée Demi-droite [Ad57) Objet dessinable [Ad57), particularités: ciel foncé Segment [BC] Objet dessinable [BC], particularités: ciel foncé Segment [DE] Objet dessinable [DE], particularités: ciel foncé b1 point libre Objet libre b1, paramètres: 2.7, 2.1 Objet dessinable b1, particularités: non dessiné b2 point libre Objet libre b2, paramètres: 3, 2.3 Objet dessinable b2, particularités: non dessiné Segment [b1D] Objet dessinable [b1D], particularités: rouge Segment [Db2] Objet dessinable [Db2], particularités: rouge f2 fonction: x|->x+1 f3 fonction: x|->(-3x+13)/2 g1 fonction: x|->f1(x)µ(int(100x)/100<=-1) g2 fonction: x|->f2(x)µ(0<=int(100x)/100<=3) g3 fonction: x|->f3(x)µ(3<int(100x)/100<=5) f fonction: x|->(g1(x)+g2(x)+g3(x))/µ(int(100x)/100<=-1 ou 0<=int(100x)/100<=5) xA abscisse de A (repère Roxy) xB abscisse de B (repère Roxy) xC abscisse de C (repère Roxy) xD abscisse de D (repère Roxy) xE abscisse de E (repère Roxy) yA ordonnée de A (repère Roxy) yB ordonnée de B (repère Roxy) yC ordonnée de C (repère Roxy) yD ordonnée de D (repère Roxy) yE ordonnée de E (repère Roxy) Objets d'accès interdit: uti, A, B, C, D, E, xA, xB, yA, yB, xC, xD, yC, yD, xE, yE Objets d'accès interdit: g1, g2, g3, f1, f2, f3, b1, b2, d57 Objets d'accès interdit: [Ad57),[BC], [DE], [b1D], [b2D] Objets protégés à rappel limité: f Options interdites: 2-5,2-6,2-7,2-8,2-9,2-11,3-8,3-9,3-10,4-5,5-2,5-3,5-8,5-9,5-10 Options interdites: 5-11,5-12,5-13,6-4,6-5 Commentaire Fin de la figure La fonction f est définie sur ] -¥ ; -1 ] È [ 0 ; 5].