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|  | Géométrie dans l'espace Dans le texte suivant, les figures sont interactives : A l'aide de la souris bouton droit enfoncé, on peut "faire tourner" la figure de l'espace représentée. On peut aussi le faire par les flèches du clavier (touche Majuscule enfoncée) quand ça marche... Dans les deux dernières illustrations (théorème des deux plans parallèles et théorème du toit) on peut, de plus, saisir à la souris les points marqués en noir et modifier ainsi la figure. 1° - Positions relatives et parallélisme de droites et de plans a) Positions relatives de deux droites distinctes Deux droites distinctes D et D' peuvent être coplanaires ou non coplanaires. Dans le cas où elles sont coplanaires, la situation est celle de la géométrie plane : dans le plan qui les contient, les droites sont soit strictement parallèles soit sécantes.
D et D' sont non coplanaires. P est un plan qui contient D. | P est un plan qui contient D et D'. D et D' sont strictement parallèles. | P est un plan qui contient D et D'. D et D' sont sécantes.
Remarque : Deux droites ayant une intersection vide ne sont pas forcément parallèles, et deux droites non parallèles ne sont pas forcément sécantes. b) Positions relatives d'une droite et d'un plan L'intersection d'une droite D et d'un plan P est soit vide, soit réduite à un point, soit égale à D. Lorsque l'intersection ne contient qu'un seul point on dit que D est sécante à P, ou encore que D et P sont sécants. Définition : une droite D est parallèle à un plan P si et seulement si D est incluse dans P ou l'intersection de D avec P est vide.
D et P sont sécants. | D est strictement parallèle à P. | D est incluse dans P, donc D est parallèle à P.
c) Positions relatives de deux plans distincts L'intersection de deux plans distincts est soit vide, soit égale à une droite et dans ce cas on dit que les plans sont sécants. Définition : Deux plans sont parallèles si et seulement si ils sont égaux ou leur intersection est vide.
Les plans P et Q sont sécants. | Les plans P et Q sont strictement parallèles.
Commentaire : les figures ci-dessus, dans lesquelles les plans sont représentés par des rectangles en perspective, sont purement conventionnelles (un plan n'a pas de bord, on ne dessine ici que des portions de plans ou de droites). Elles sont destinées à forger une image des situations présentées. Le fait de pouvoir faire tourner les figures de l'espace devrait pouvoir améliorer la perception. d) Théorèmes relatifs au parallélisme (1) Par un point, il passe un seul plan parallèle à un plan donné. (2) Si deux plans sont parallèles, tout plan parallèle à l'un est parallèle à l'autre. (3) Si une droite D est parallèle à un plan P, tout plan sécant à P contenant D coupe P selon une droite parallèle à D.
D est parallèle à P. D est incluse dans Q. D' est l'intersection des plans P et Q. |
(4) Si une droite est parallèle à une droite d'un plan P, elle est parallèle à P.
D est parallèle à D', et D' est incluse dans P. |
(5) Si deux plans sécants sont parallèles à une droite D, leur intersection est parallèle à D.
D est parallèle à P et à Q. D' est l'intersection de P et Q. |
(6) Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l'un est sécant à l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.
Les plans P et P' sont parallèles. D est la droite d'intersection des plans P et Q. D' est la droite d'intersection des plans P' et Q. |
(7) Théorème du toit : si deux plans sécants contiennent deux droites parallèles, leur intersection est une droite parallèle aux deux premières.
d est dans P. d' est dans Q. d et d' sont parallèles. D est la droite d'intersection de P et Q. |
Commentaire Si la plupart des théorèmes de la géométrie plane s'étendent naturellement à l'espace, il faut cependant rester vigilant; Voici deux exemples de "faux-amis" : Deux droites parallèles à un même plan ne sont pas forcément parallèles. Par un point, il passe plusieurs droites parallèles à un plan donné, il passe plusieurs plans parallèles à une droite donnée. 2° - Orthogonalité a) Orthogonalité de deux droites Définition Deux droites sont orthogonales dans l'espace si et seulement si leurs parallèles passant par un point quelconque sont perpendiculaires dans le plan qui les contient.
D'1 est parallèle à D1, D'2 est parallèle à D2, D1 et D2 sont, dans P, sécantes et perpendiculaires. D'1 et D'2 sont orthogonales. |
Commentaires La définition s'appuie sur le fait que si deux droites sécantes sont perpendiculaires, leurs parallèles passant par un un point quelconque sont également perpendiculaires. D'après la définition, deux droites perpendiculaires sont évidemment orthogonales, mais deux droites orthogonales ne sont perpendiculaires que si elles sont sécantes. Cependant on donne souvent le même sens aux deux mots. b) Orthogonalité d'une droite et d'un plan Théorème Une droite est orthogonales à toutes les droites d'un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. Définition Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan et donc, d'après le théorème précédent, si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
D est orthogonale à P, donc D est orthogonale à toute droite de P. |
Commentaires L'expression "droite perpendiculaire à un plan" a le même sens que "droite orthogonale à un plan". Pour montrer que deux droites sont orthogonales, on montre souvent que l'une est orthogonale à un plan qui contient l'autre. c) Orthogonalité de deux plans Définition Deux plans sont perpendiculaires (ou orthogonaux) si et seulement si l'un contient une droite orthogonale à l'autre.
Q contient une droite D perpendiculaire à P. P et Q sont perpendiculaires. |
Exemples sur un cube :
Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles. Toute droite de l'un est donc parallèle à l'autre : par exemple, la droite (AC) est parallèle au plan (EFG). La droite (AE) est perpendiculaire aux droites (AB) et (AD) et donc au plan (ABC). Elle est orthogonale à toute droite de ce plan, par exemple à (AC). Les plans (ABC) et (AEH) sont perpendiculaires puisque chacun contient une droite perpendiculaire à l'autre. etc. |
Commentaire Une erreur fréquente consiste à affirmer "lorsque deux plans sont perpendiculaires, toute droite de l'un est perpendiculaire à l'autre", ou encore "toute droite de l'un est perpendiculaire à toute droite de l'autre". Ceci est évidemment faux et il est facile de trouver des contre-exemples sur le cube. d) Théorèmes concernant parallélisme et orthogonalité (1) Si deux plans sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre. (2) Si deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
Les plans P et Q sont parallèles. La droite D est perpendiculaire au plan P, donc au plan Q. | D et D' sont parallèles. P est perpendiculaire à D, donc à D'.
ou
Les plans P et Q sont parallèles. La droite D est perpendiculaire au plan P, donc au plan Q. | D et D' sont parallèles. P est perpendiculaire à D, donc à D'.
(3) Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles.
Les droites D et D' sont perpendiculaires au plan P. |
(4) Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles. (5) Par un point donné, il passe un seul plan perpendiculaire à une droite donnée. (6) Par un point donné, il passe une seule droite perpendiculaire à un plan donné. (7) Si deux plans sécants sont perpendiculaires à un même plan P, leur droite d'intersection est perpendiculaire à P.
Les plans Q et Q' sont perpendiculaires au plan P. |
Commentaires Certains théorèmes ci-dessus ne sont pas illustrés. Pour bien les comprendre, nous conseillons au lecteur de chercher dans les illustrations précédentes celles qui pourraient convenir. Ici encore, attention aux ''faux-frères"; par exemple, deux plans perpendiculaires à un même plan ne sont pas forcément parallèles.