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<< 6. Résolution de l'équation cos(x) = a >>

Soit a un réel tel que –1 £ a £ 1. On cherche tous les réels x d'un intervalle donné I tels que cos(x) = a.

Résolution à l'aide du cercle trigonométrique et d'une figure Géoplan

• On détermine d'abord les points du cercle trigonométrique associés aux réels x tels que cos(x) = a. Ces points sont les points d'intersection du cercle trigonométrique et de la droite d'équation X = a. (Se reporter à l'exercice du chapitre 2 intitulé "cosinus et sinus d'un réel".) • Ensuite on cherche tous les réels x de l'intervalle I associés aux points précédemment trouvés.

Dans les figures 1 et 1bis, on a créé le cercle trigonométrique C et le point M associé au réel x qui peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle I (la valeur de x peut être modifiée au clavier). Ce point servira à déterminer les solutions de l'équation proposée dans l'exemple puis dans l'exercice.

Exemple : résoudre l'équation cos(x) = – 0,35 dans l'intervalle I = [-p ; 2p ]. Pour voir l'exemple, cocher les cases ci-dessous dans l'ordre. • Construire les points du cercle associés aux solutions. • Faire parcourir à la variable x toutes les valeurs de I et noter au passage une valeur approchée de chaque solution. Liste des solutions :
| Figure 1

Exercice Créer dans la figure 1bis les éléments utiles pour écrire dans le cadre ci-dessous la liste des solutions de l'équation cos (x) = 0,62 comprises dans l'intervalle I = [-3 p ; 2 p ].
Pour chacune d'elles, on écrira une valeur approchée sous forme décimale ayant au plus deux chiffres après la virgule. Les différentes valeurs seront séparées par un point virgule. Liste des solutions : | Figure 1bis

Résolution algébrique On démontre le théorème :

Dans IR, cos (x) = cos(a) Û

Dans la figure 2, a est un réel, les points S et S' sont les points d'intersection de la droite d'équation X = a avec le cercle trigonométrique. (On peut changer la valeur de a au clavier.) Dans IR , tous les réels associés à S et S' sont solutions de l'équation cos(x) = a. Si a est l'un de ces réels, tous les autres s'écrivent a + k.2p ou – a + k'. 2p , k et k' entiers relatifs. |
Figure2

Exemple :

déterminer les solutions dans l'intervalle [–3p ; 2p ] de l'équation cos(x) =
.
• On sait que
= cos
donc l'équation cos(x) =
est équivalente à cos(x) = cos
.
D'après le théorème cité, les solutions dans IR sont les réels :
+ k.2p et
+ k'.2p , k et k' étant des entiers relatifs.

• Pour trouver les solutions dans [-3p ; 2p ], on cherche les valeurs de k et k' qui vérifient :

> > – 3p £
> > + k.2p £ 2p et – 3p £
> > + k'.2p £ 2p .

Or – 3p £
+ k.2p £ 2p Û
£ k £
Û k = – 1 ou k = 0

et – 3p £
+ k'.2p £ 2p Û
£ k' £
Û k' = –1 ou k' = 0 ou k' = 1.

Donc les solutions de l'équation cos(x) = dans l'intervalle [-3p ; 2p ] sont : .

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