Association pour l'Innovation Didactique Centre de Recherche et d'Expérimentation pour l'Enseignement des Mathématiques
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|  | Essai de page HTML pour la visualisation d'une application linéaire : exercices Dans ce texte suivant, les figures sont des "figures-Géoplan". Pour activer une telle figure, cliquer dessus : le cadre apparaît qui indique qu'elle est active. Pour faire apparaître son menu, double-cliquer dessus.

Soit l'application linéaire f de R2 vers lui-même de matrice

F = | [ | a b c d | ]

On représentera ici R2 par le plan d'une figure-Géoplan.
Le repère standard Roxy (origine o, vecteurs de base
et
) représente le repère canonique de R2.
Soit le vecteur
de coordonnées x et y.
L'image par f de ce vecteur est
de coordonnées x' = ax + by et y' = cx + dy.
La figure 1 permet de se familiariser avec cette représentation en déplaçant le point M.

Exercice 1 • La matrice est tirée au hasard (pour le cadrage, les coefficients sont limités). • Vous allez essayer d'estimer les coefficients a, b, c et d à 0,2 près. Pour cela, affecter le point M par ses coordonnées (menu "Piloter", item "Placer un point libre par coordonnées") ou à la souris (donc approximativement). Pour répondre, utilisez la virgule décimale (pas le point) a = ; b = ; c = ; d = ; | Figure 1

Exercice 2 : Image, Noyau • La matrice est ici non inversible (mais non nulle) à coefficients entiers petits tirés au hasard. • Vous allez essayer de trouver son noyau et son image. Rappel Le rang de la matrice est forcément 1. L'image et le noyau sont de dimension 1. Pour répondre, construisez ces droites dans la figure 2 par exemple comme droites définies par une équation (menu créer, sous-menus ligne puis droite) Nommez bien I l'image et N le noyau et ne tester qu'après avoir construit I et N. | Figure 2

Exercice 3 : Vecteurs propres • La matrice est tirée au hasard (pour simplifier, les coefficients sont entiers et petits). • Question : la matrice est-elle diagonalisable sur R? Oui Non Essayez de répondre à la question en expérimentant sur la figure, sans chercher à trouver les coefficients de la matrice. | Figure 3

Remarque : on pourrait aussi demander une estimation des valeurs propres (dans le cas réel, mais peut-être aussi dans le cas où elles sont complexes..) et d'autres choses encore..