A ssociation pour l' I nnovation D idactique C entre de R echerche et d'E xpérimentation pour l'E nseignement des M athématiques | Représentations graphiques des fonctions 12 Courbes avec conditions imposées (niveau 1) Date de mise à jour : 1/1/2003 Retour au sommaire

Classe | Prénom et Nom | Prénom et Nom

Construire la courbe d'une fonction f vérifiant des conditions. Les conditions peuvent porter sur l'ensemble de définition, le sens de variation, les extrémums, les équations f(x) = b, les inéquations f(x) ³ b ou f(x) £ b .

Cinq exercices sont prévus, chacun comportant deux questions. Pour chaque exercice la deuxième question est tirée au sort parmi trois. On peut abandonner un exercice (bouton Abandon et suite), dans ce cas l'exercice sera proposé à nouveau en fin de liste.

Exercice 1 0;0;12345 Lire attentivement TOUTES les conditions écrites avant de commencer. Vous pouvez faire tester la courbe sans avoir fini le travail mais les conditions sont testées dans l'ordre d'écriture et l'analyse s'arrête dès qu'une condition n'est pas vérifiée.

Dans la figure Géoplan, on a représenté une courbe G construite à l'aide des points A, B, C, D, E, F, G, H et K qui sont des points libres. 1. Placer ces points de façon qu'ils soient tous différents et que la courbe G soit la courbe d'une fonction f telle que : 2. Une fonction f qui vérifie toutes les conditions ci-dessus peut-elle vérifier de plus : En cas de réponse "Oui", placer les points (de A à K) de façon que f vérifie aussi cette condition avant de cliquer sur le bouton "Oui". | Chaque fois que vous cliquez sur un point libre ou que vous le déplacez, ses coordonnées s'affichent et il devient pilotable au clavier.

Justification de la réponse "Non" ( Cliquez dans le cadre ci-contre pour y écrire vos arguments. Quand vous aurez terminé appuyez sur le bouton Suite.) |

Résultats des exercices

G est la courbe d'une fonction f telle que : |

G est la courbe d'une fonction f telle que : |

G est la courbe d'une fonction f telle que : |

G est la courbe d'une fonction f telle que : |

G est la courbe d'une fonction f telle que : |

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Figure Géoplan Numéro de version: 2 Début de [trinômePointSommet] A point donné B point donné xA abscisse de A (repère Roxy) yA ordonnée de A (repère Roxy) xB abscisse de B (repère Roxy) yB ordonnée de B (repère Roxy) a =(yA-yB)/((xA-xB)^2) b = -2axB c = yA-axA^2-bxA f fonction: x|->ax^2+bx+c Prototype non accessible par le menu Description de l'interface f fonction trinôme définie par A , sommet en B point de la parabole: sommet: Résultat (fonction): Aide particulière non écrite. Fin de [trinômePointSommet] Position de Roxy: Xmin: -5.79138729404, Xmax: 7.60956911222, Ymax: 7.81653236174 Objet dessinable Roxy, particularités: gris foncé, dessiné R repère (o,0.2vec(i),0.2vec(j)) (graduations: 1,1) Objet dessinable R, particularités: non dessiné A point libre à coordonnées entières (repère R) Objet libre A, paramètres: -2, 18 Objet dessinable A, particularités: rouge, marque épaisse xA abscisse de A (repère Roxy) yA ordonnée de A (repère Roxy) B point libre à coordonnées entières (repère R) Objet libre B, paramètres: -20, 25 Objet dessinable B, particularités: rouge, marque épaisse xB abscisse de B (repère Roxy) yB ordonnée de B (repère Roxy) C point libre à coordonnées entières (repère R) Objet libre C, paramètres: -29, 11 Objet dessinable C, particularités: rouge, marque épaisse xC abscisse de C (repère Roxy) yC ordonnée de C (repère Roxy) D point libre à coordonnées entières (repère R) Objet libre D, paramètres: -12, 14 Objet dessinable D, particularités: rouge, marque épaisse xD abscisse de D (repère Roxy) yD ordonnée de D (repère Roxy) E point libre à coordonnées entières (repère R) Objet libre E, paramètres: -13, -15 Objet dessinable E, particularités: rouge, marque épaisse xE abscisse de E (repère Roxy) yE ordonnée de E (repère Roxy) F point libre à coordonnées entières (repère R) Objet libre F, paramètres: 22, 9 Objet dessinable F, particularités: rouge, marque épaisse xF abscisse de F (repère Roxy) yF ordonnée de F (repère Roxy) G point libre à coordonnées entières (repère R) Objet libre G, paramètres: 9, 19 Objet dessinable G, particularités: rouge, marque épaisse xG abscisse de G (repère Roxy) yG ordonnée de G (repère Roxy) H point libre à coordonnées entières (repère R) Objet libre H, paramètres: 31, 29 Objet dessinable H, particularités: rouge, marque épaisse xH abscisse de H (repère Roxy) yH ordonnée de H (repère Roxy) K point libre à coordonnées entières (repère R) Objet libre K, paramètres: 35, 5 Objet dessinable K, particularités: rouge, marque épaisse xK abscisse de K (repère Roxy) yK ordonnée de K (repère Roxy) f1 fonction trinôme définie par A , sommet en B f2 fonction trinôme définie par C , sommet en B f3 fonction trinôme définie par C , sommet en D f4 fonction trinôme définie par E , sommet en D f5 fonction trinôme définie par E , sommet en F f6 fonction trinôme définie par G , sommet en F f7 fonction trinôme définie par G , sommet en H f8 fonction trinôme définie par K , sommet en H g1 fonction: x|->f1(x)µ(min(xA,xB)<=int(100x)/100<max(xA,xB)) g2 fonction: x|->f2(x)µ(min(xB,xC)<=int(100x)/100<Max(xB,xC)) g3 fonction: x|->f3(x)µ(min(xC,xD)<=int(100x)/100<max(xC,xD)) g4 fonction: x|->f4(x)µ(min(xD,xE)<=int(100x)/100<max(xD,xE)) g5 fonction: x|->f5(x)µ(min(xE,xF)<=int(100x)/100<max(xE,xF)) g6 fonction: x|->f6(x)µ(min(xF,xG)<=int(100x)/100<max(xF,xG)) g7 fonction: x|->f7(x)µ(min(xG,xH)<=int(100x)/100<max(xG,xH)) g8 fonction: x|->f8(x)µ(min(xH,xK)<=int(100x)/100<=max(xH,xK)) C1 graphe de f1 sur [xA,xB] (100 points, repère Roxy) Objet dessinable C1, particularités: ciel foncé, points liés C2 graphe de f2 sur [xB,xC] (100 points, repère Roxy) Objet dessinable C2, particularités: ciel foncé, points liés C3 graphe de f3 sur [xC,xD] (100 points, repère Roxy) Objet dessinable C3, particularités: ciel foncé, points liés C4 graphe de f4 sur [xD,xE] (100 points, repère Roxy) Objet dessinable C4, particularités: ciel foncé, points liés C5 graphe de f5 sur [xE,xF] (100 points, repère Roxy) Objet dessinable C5, particularités: ciel foncé, points liés C6 graphe de f6 sur [xF,xG] (100 points, repère Roxy) Objet dessinable C6, particularités: ciel foncé, points liés C7 graphe de f7 sur [xG,xH] (100 points, repère Roxy) Objet dessinable C7, particularités: ciel foncé, points liés C8 graphe de f8 sur [xH,xK] (100 points, repère Roxy) Objet dessinable C8, particularités: ciel foncé, points liés h fonction: x|->(g1(x)+g2(x)+g3(x)+g4(x)+g5(x)+g6(x)+g7(x)+g8(x)) f fonction: x|->h(x)/µ(min(xA,xK)<=int(100x)/100<=max(xA,xK)) Hauteur de la zone des affichages: 20 Af10 affichage du texte: . Objet dessinable Af10, particularités: rouge Position de l'affichage Af10: (110,1) Objets d'accès interdit: time, R, xA, yA, xB, yB, xC, yC, xD, yD, xE, yE, xF, yF, xG, yG Objets d'accès interdit: xH, yH, xK, yK, f1, f2, f3, f4, f5, f6, f7, f8, g1, g2, g3, g4 Objets d'accès interdit: g5, g6, g7, g8, C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, h, f, Af10 Objets protégés à rappel limité:A, B, C, D, E, F, G, H, K Options interdites: 2-5,2-6,2-7,2-8,2-9,2-11,3-3,3-4,3-8,3-9,3-10,4-5,5-2,5-3,5-8 Options interdites: 5-9,5-10,5-11,5-12,5-13,6-4,6-5 Commentaire Fin de la figure | • f est définie sur [-7;6] • f(-5) = -4 , f(1) = 2 , f(4) = 5 • f n'est pas croissante sur [-5 ; 4]. le maximum de f est égal à 4. f(3) = 6. le maximum de f est atteint en 3. | • f est définie sur [-4;9] • f est décroissante sur [-4;2] • f n'est pas monotone sur [2;9]. f(0) > f(-2). le minimum de f est atteint en 3 et en 7. {-4;3;7} est l'ensemble des solutions de l'équation f(x) = -2,4.
• f est définie sur [-6;6] • les solutions de l'équation f(x) = 2 sont : -3 ; 1 ; 5 • le minimum -1 de f est atteint en -5 et en 3. f(0) = -3. le maximum de f est atteint en -1. l'équation f(x) = 4 n'a pas de solution. | • f est définie sur [-2;8] • f est décroissante sur [3;8] • [-1;6] est l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) ³ f(1). f(4) < f(8). f(0) = f(5). l'équation f(x) = 5 a une unique solution. | • f est définie sur [-7;7] • f(-3) = f(3) et f(-1) ¹ f(1) • f est décroissante sur [-3;1]. l'équation f(x) = f(3) admet une unique solution. le maximum 3 de f est atteint en 5. l'équation f(x) = f(3) a 4 solutions.