A ssociation pour l' I nnovation D idactique C entre de R echerche et d'E xpérimentation pour l'E nseignement des M athématiques | Représentations graphiques des fonctions 1 Courbe représentative d'une fonction : définition, premiers exemples Date de mise à jour : 1/1/2003 Retour au sommaire

Classe | Prénom et Nom | Prénom et Nom

Plan du document

1.

Rappel de définition

2

. Première illustration de la définition

3.

Deux exemples (fonctions définies par des formules de calcul)

4. Deux exemples (fonctions définies par des conditions géométriques)

1. Rappel de définition

Soit f une fonction et (O, I, J) un repère du plan. La courbe représentative de la fonction f dans le repère (O, I, J) est l'ensemble des points M du plan de coordonnées (x , y) vérifiant les deux conditions : x appartient à l'ensemble de définition de f et y = f(x)

2. Premières illustrations de la définition

On donne une fonction f (le logiciel la choisit lorsque l'on appuie sur le bouton correspondant).

On demande alors de choisir un nombre réel dans l'ensemble de définition ; le logiciel se charge de calculer l'image de ce réel (les valeurs affichées sont approchées à 10-1 près) et de placer le point de la courbe correspondant à cette abscisse.

En recommençant plusieurs fois, on peut ainsi voir de nombreux points de la courbe représentative de f.

Cette activité sera pratiquée successivement sur deux fonctions.

0 1 1 1 1 1

Appuyez sur le bouton pour que le logiciel choisisse une fonction. x = f(x) » |

3 . Exemples avec des fonctions définies par des formules de calcul

Exemple 1 : la fonction f est définie sur l'intervalle [1; 6].
On appelle C la courbe représentative de la fonction f.

Travail à réaliser : Sur la figure ci-contre, le plan est muni d' un repère (O, I, J). Créer dans ce repère : le point A de la courbe C d'abscisse 1 le point B de la courbe C d'abscisse 2.5 le point C de la courbe C d'abscisse 3.8 le point D de la courbe C d'abscisse 5. Sur la figure, l'ordonnée du point M est l'image de son abscisse par la fonction f (un calcul permet de le vérifier rapidement). Les valeurs affichées sont approchées à 10-2 près. Utiliser la figure (on consultera le mode d'emploi) pour observer d'autres points et l'allure de la courbe. |

Figure Géoplan Numéro de version: 2 Position de Roxy: Xmin: -2.64656222674, Xmax: 8.92968777326, Ymax: 7.48273413691 Objet dessinable Roxy, particularités: rouge, dessiné I' point de coordonnées (1,0) dans le repère Roxy Objet dessinable I', particularités: rouge, marque non dessinée, non dessiné J' point de coordonnées (0,1) dans le repère Roxy Objet dessinable J', particularités: rouge, marque non dessinée, non dessiné f fonction: x|->(x^2/2)-2x-1 Cf graphe de f sur [1,6] (500 points, repère Roxy) Objet dessinable Cf, particularités: bleu foncé, trait épais, points liés, non dessiné L point de coordonnées (6,0) dans le repère Roxy Objet dessinable L, particularités: non dessiné m point libre sur le segment [I'L] Objet libre m, paramètre: 0.90205501696 Pas de pilotage au clavier de m: 0.02 (/ segment,modifiable) Objet dessinable m, particularités: nom non dessiné x abscisse de m (repère Roxy) M point de coordonnées (x,f(x)) dans le repère Roxy Objet dessinable M, particularités: bleu, nom à droite H projeté orthogonal de M sur ox Objet dessinable H, particularités: bleu K projeté orthogonal de M sur oy Objet dessinable K, particularités: bleu ab abscisse de M (repère Roxy) or ordonnée de M (repère Roxy) ep1I réel libre de [-1,1] Objet libre ep1I, paramètre: 0.07379333582 ep2I réel libre de [-1,1] Objet libre ep2I, paramètre: 0.81122839684 ep1J réel libre de [-1,1] Objet libre ep1J, paramètre: 0.09651321918 ep2J réel libre de [-1,1] Objet libre ep2J, paramètre: 0.26783960266 I point de coordonnées (1+ep1I,ep2I) dans le repère Roxy Objet dessinable I, particularités: rouge, marque non dessinée J point de coordonnées (ep1J,1+ep2J) dans le repère Roxy Objet dessinable J, particularités: rouge, marque non dessinée Segment [MH] Objet dessinable [MH], particularités: bleu, tireté Segment [MK] Objet dessinable [MK], particularités: bleu, tireté A point de coordonnées (1,f(1)) dans le repère Roxy Objet dessinable A, particularités: rose, marque épaisse B point de coordonnées (2.5,f(2.5)) dans le repère Roxy Objet dessinable B, particularités: rose, marque épaisse C point de coordonnées (3.8,f(3.8)) dans le repère Roxy Objet dessinable C, particularités: rose, marque épaisse D point de coordonnées (5,f(5)) dans le repère Roxy Objet dessinable D, particularités: rose, marque épaisse Hauteur de la zone des affichages: 30 Af0 affichage du texte: Abscisse de M : val(ab,2) Objet dessinable Af0, particularités: bleu Position de l'affichage Af0: (7,1) Af1 affichage du texte: Ordonnée de M : val(or,2) Objet dessinable Af1, particularités: bleu Position de l'affichage Af1: (6,14) Cm0 (touche C) dessin en bloc de Cf Cm1 (touche T) garder la trace de M Cm2 (touche N) quitter un mode trace Objet libre actif au clavier: m Sélection pour trace: M Objets d'accès interdit: time, I', J', f, Cf, L, x, M, ab, or, ep1I, ep2I, ep1J, ep2J, I Objets d'accès interdit: J, [MH], [MK], Af0, Af1 A la place de H, afficher: val(ab,2) A la place de K, afficher: f(val(ab,2)) Options interdites: 2,3-2,3-3,3-4,3-5,3-6,3-7,3-8,3-9,3-10,4-1,4-2,4-3,4-4,4-5,4-6 Options interdites: 4-7,4-8,4-9,5-2,5-3,5-4,5-8,5-9,5-10,5-11,5-12,5-13 Options interdites: 6 Commentaire Fin de la figure"

Exemple 2 : la fonction f est définie sur l'intervalle [1; 6].
On appelle C la courbe représentative de la fonction f.

Travail à réaliser : Sur la figure ci-contre, le plan est muni d' un repère (O, I, J). Créer dans ce repère : le point A de la courbe C d'abscisse -1 le point B de la courbe C d'abscisse 1 le point C de la courbe C d'abscisse 0.5 le point D de la courbe C d'abscisse -0.75 . Sur la figure, l'ordonnée du point M est l'image de son abscisse par la fonction f (un calcul permet de le vérifier rapidement). Les valeurs affichées sont approchées à 10-2 près. Utiliser la figure (on consultera le mode d'emploi) pour observer d'autres points et l'allure de la courbe.
Figure Géoplan Numéro de version: 2 Position de Roxy: Xmin: -1.94155738616, Xmax: 1.68215197214, Ymax: 3.10699307921 Objet dessinable Roxy, particularités: rouge, dessiné I' point de coordonnées (-2,0) dans le repère Roxy Objet dessinable I', particularités: rouge, marque non dessinée, non dessiné J' point de coordonnées (0,1) dans le repère Roxy Objet dessinable J', particularités: rouge, marque non dessinée, non dessiné f fonction: x|->(-x/3)µ(-2<=x<0)+xµ(0<x<=1.5) Cf graphe de f sur [-2,1.5] (500 points, repère Roxy) Objet dessinable Cf, particularités: bleu foncé, trait épais, points liés, non dessiné L point de coordonnées (1.5,0) dans le repère Roxy Objet dessinable L, particularités: non dessiné m point libre sur le segment [I'L] Objet libre m, paramètre: 0.97660367087 Objet dessinable m, particularités: nom non dessiné x abscisse de m (repère Roxy) M point de coordonnées (x,f(x)) dans le repère Roxy Objet dessinable M, particularités: bleu H projeté orthogonal de M sur ox Objet dessinable H, particularités: bleu K projeté orthogonal de M sur oy Objet dessinable K, particularités: bleu, nom au-dessus, nom à gauche ab abscisse de M (repère Roxy) or ordonnée de M (repère Roxy) ep1I réel libre de [-1,1] Objet libre ep1I, paramètre: -0.02620666418 Pas de pilotage au clavier de ep1I: 0.05 (modifiable) ep2I réel libre de [-1,1] Objet libre ep2I, paramètre: 0.28622839684 Pas de pilotage au clavier de ep2I: 0.025 (modifiable) ep1J réel libre de [-1,1] Objet libre ep1J, paramètre: -0.01911178082 Pas de pilotage au clavier de ep1J: 0.025 (modifiable) ep2J réel libre de [-1,1] Objet libre ep2J, paramètre: 0.06783960266 I point de coordonnées (1+ep1I,ep2I) dans le repère Roxy Objet dessinable I, particularités: rouge, marque non dessinée J point de coordonnées (ep1J,1+ep2J) dans le repère Roxy Objet dessinable J, particularités: rouge, marque non dessinée Segment [MH] Objet dessinable [MH], particularités: bleu, tireté Segment [MK] Objet dessinable [MK], particularités: bleu, tireté B point de coordonnées (1,f(1)) dans le repère Roxy Objet dessinable B, particularités: rose, marque épaisse A point de coordonnées (-1,f(-1)) dans le repère Roxy Objet dessinable A, particularités: rose, marque épaisse C point de coordonnées (0.5,f(0.5)) dans le repère Roxy Objet dessinable C, particularités: rose, marque épaisse D point de coordonnées (-0.75,f(-0.75)) dans le repère Roxy Objet dessinable D, particularités: rose, marque épaisse Hauteur de la zone des affichages: 29 Af0 affichage du texte: Abscisse de M : val(ab,2) Objet dessinable Af0, particularités: bleu Position de l'affichage Af0: (2,1) Af1 affichage du texte: Ordonnée de M : val(or,2) Objet dessinable Af1, particularités: bleu Position de l'affichage Af1: (2,12) Cm0 (touche C) dessin en bloc de Cf Cm1 (touche T) garder la trace de M Cm2 (touche N) quitter un mode trace Objet libre actif au clavier: m Sélection pour trace: M Objets d'accès interdit: o, ox, oy, Roxy,vec(i), vec(j), Uoxy, time, I', J', f, Cf, L Objets d'accès interdit: x, M, ab, or, ep1I, ep2I, ep1J, ep2J, I, J, [MH], [MK], Af0, Af1 A la place de H, afficher: val(ab,2) A la place de K, afficher: f(val(ab,2)) Options interdites: 2,3-3,3-4,3-5,3-6,3-7,3-8,3-9,3-10,4-1,4-2,4-3,4-4,4-5,4-6,4-7 Options interdites: 4-8,4-9,5-2,5-3,5-4,5-5,5-6,5-7,5-8,5-9,5-10,5-11,5-12,5-13,6 Commentaire Fin de la figure"

4 . Exemples avec des fonctions définies par des conditions géométriques

Exemple 3 : Un point m d'abscisse x parcourt l'intervalle [-4 , 4] sur l'axe des abscisses.
f est la fonction qui au réel x associe la plus courte distance de m au disque de centre o et de rayon 1 (c'est-à-dire la distance de m au point du disque qui lui est le plus proche).
On appelle C la courbe représentative de la fonction f.

Travail à réaliser : Sur la figure ci-contre, le plan est muni d' un repère (O, I, J). Le disque représenté a pour centre o et pour rayon 1 Créer sur la figure le point A de la courbe C d'abscisse -3 puis le vérifier. Créer de même le point B de la courbe C d'abscisse 2.4 puis le vérifier. Créer le point C de la courbe C d'abscisse -1.5 et le point D de la courbe C d'abscisse 0.5 . Sur la figure, l'ordonnée du point M est l'image de son abscisse par la fonction f (un calcul permet de le vérifier rapidement). Les valeurs affichées sont approchées à 10-2 près. Utiliser la figure (on consultera le mode d'emploi) pour observer d'autres points et l'allure de la courbe. |

Figure Géoplan Numéro de version: 2 Position de Roxy: Xmin: -3.50776049046, Xmax: 3.73021671554, Ymax: 5.14168043668 Objet dessinable Roxy, particularités: ciel foncé, dessiné I' point de coordonnées (1,0) dans le repère Roxy Objet dessinable I', particularités: rouge, marque non dessinée, non dessiné J' point de coordonnées (0,1) dans le repère Roxy Objet dessinable J', particularités: rouge, marque non dessinée, non dessiné f fonction: x|->(x-1)µ(x>1)+(-1-x)µ(x<-1) Cf graphe de f sur [-4,4] (500 points, repère Roxy) Objet dessinable Cf, particularités: bleu foncé, trait épais, points liés, non dessiné L point de coordonnées (4,0) dans le repère Roxy Objet dessinable L, particularités: non dessiné L' point de coordonnées (-4,0) dans le repère Roxy Objet dessinable L', particularités: non dessiné m point libre sur le segment [L'L] Objet libre m, paramètre: 0.91119797026 Objet dessinable m, particularités: rouge, nom au-dessus, nom à gauche, marque fine x abscisse de m (repère Roxy) M point de coordonnées (x,f(x)) dans le repère Roxy Objet dessinable M, particularités: bleu, nom au-dessus H projeté orthogonal de M sur ox Objet dessinable H, particularités: bleu K projeté orthogonal de M sur oy Objet dessinable K, particularités: bleu ab abscisse de M (repère Roxy) or ordonnée de M (repère Roxy) ep1I réel libre de [-1,1] Objet libre ep1I, paramètre: -0.07620666418 Pas de pilotage au clavier de ep1I: 0.05 (modifiable) ep2I réel libre de [-1,1] Objet libre ep2I, paramètre: 0.16122839684 Pas de pilotage au clavier de ep2I: 0.025 (modifiable) ep1J réel libre de [-1,1] Objet libre ep1J, paramètre: -0.10348678082 Pas de pilotage au clavier de ep1J: 0.025 (modifiable) ep2J réel libre de [-1,1] Objet libre ep2J, paramètre: 0.46783960266 I point de coordonnées (1+ep1I,ep2I) dans le repère Roxy Objet dessinable I, particularités: ciel foncé, marque non dessinée J point de coordonnées (ep1J,1+ep2J) dans le repère Roxy Objet dessinable J, particularités: ciel foncé, marque non dessinée Segment [MH] Objet dessinable [MH], particularités: rose, tireté Segment [MK] Objet dessinable [MK], particularités: bleu, tireté c cercle de centre o et de rayon 1 (unité Uoxy) Objet dessinable c, particularités: gris, hachures diagonales Z point de coordonnées (-µ(-4<=x<-1)+µ(1<x<=4)+xµ(-1<x<1),0) dans le repère Roxy Objet dessinable Z, particularités: rose, marque fine, nom non dessiné Segment [mZ] Objet dessinable [mZ], particularités: rose, trait épais Segment [oK] Objet dessinable [oK], particularités: rose, trait épais A point de coordonnées (-3,f(-3)) dans le repère Roxy Objet dessinable A, particularités: rose, marque épaisse B point de coordonnées (2.4,f(2.4)) dans le repère Roxy Objet dessinable B, particularités: rose, marque épaisse C point de coordonnées (-1.5,f(-1.5)) dans le repère Roxy Objet dessinable C, particularités: rose, marque épaisse D point de coordonnées (0.5,f(0.5)) dans le repère Roxy Objet dessinable D, particularités: rose, marque épaisse Hauteur de la zone des affichages: 28 Af0 affichage du texte: Abscisse de M : val(ab,2) Objet dessinable Af0, particularités: bleu Position de l'affichage Af0: (5,1) Af1 affichage du texte: Ordonnée de M : val(or,2) Objet dessinable Af1, particularités: bleu Position de l'affichage Af1: (5,13) Cm0 (touche C) dessin en bloc de Cf Cm1 (touche N) quitter un mode trace Cm2 (touche T) garder la trace de M Objet libre actif au clavier: m Sélection pour trace: M Objets protégés: m, H, K, Cm0, Cm1, Cm2 Objets d'accès interdit: o, ox, oy, Roxy, vec(i), vec(j), Uoxy, time, I', J', f, Cf, L Objets d'accès interdit: L', x, M, ab, or, ep1I, ep2I, ep1J, ep2J, I, J, [MH], [MK] Objets d'accès interdit: c, Z, [mZ], [oK], Af0, Af1 A la place de H, afficher: val(ab,2) A la place de K, afficher: f(val(ab,2)) Options interdites: 2,3-3,3-4,3-5,3-6,3-7,3-8,3-9,3-10,4-1,4-2,4-3,4-4,4-5,4-6,4-7 Options interdites: 4-8,4-9,5-2,5-3,5-4,5-5,5-6,5-7,5-8,5-9,5-10,5-11,5-12,5-13,6 Commentaire Fin de la figure"

Exemple 4 : Un point m d'abscisse x parcourt l'intervalle [- 50 , 50] sur l'axe des abscisses. P est le point de coordonnées (1 , 2).
f est la fonction qui à x associe l'ordonnée à l'origine, quand elle existe, de la droite (Pm).
On appelle C la courbe représentative de la fonction f.

Travail à réaliser : Sur la figure ci-contre, le plan est muni d' un repère (O, I, J). On a représenté le point P, le point m et on a fait afficher l'abscisse x de m. Observer : quand on déplace m sur l'axe des abscisses, la valeur de x s'actualise. On a aussi tracé la droite (Pm) et visualisé en rose son ordonnée à l'origine. Créer sur la figure le point A de la courbe C d'abscisse 2 puis le vérifier. Créer de même le point B de la courbe C d'abscisse 0.5 puis le vérifier. Créer le point C de la courbe C d'abscisse -1. Sur la figure, l'ordonnée du point M est l'image de son abscisse par la fonction f (un calcul permet de le vérifier rapidement). Les valeurs affichées sont approchées à 10-2 près. Utiliser la figure (on consultera le mode d'emploi) pour observer d'autres points et l'allure de la courbe. |

Figure Géoplan Numéro de version: 2 Position de Roxy: Xmin: -5, Xmax: 5, Ymax: 6.22 Objet dessinable Roxy, particularités: ciel foncé, dessiné I' point de coordonnées (1,0) dans le repère Roxy Objet dessinable I', particularités: rouge, marque non dessinée, non dessiné J' point de coordonnées (0,1) dans le repère Roxy Objet dessinable J', particularités: rouge, marque non dessinée, non dessiné f fonction: x|->(2x)/(x-1) Cf graphe de f sur [-50,50] (500 points, repère Roxy) Objet dessinable Cf, particularités: bleu foncé, trait épais, points liés, non dessiné L point de coordonnées (50,0) dans le repère Roxy Objet dessinable L, particularités: non dessiné L' point de coordonnées (-50,0) dans le repère Roxy Objet dessinable L', particularités: non dessiné m point libre sur le segment [L'L] Objet libre m, paramètre: 0.53908046403 Pas de pilotage au clavier de m: 0.00125 (/ segment,modifiable) Objet dessinable m, particularités: bleu, nom au-dessus, nom à droite, marque fine x abscisse de m (repère Roxy) M point de coordonnées (x,f(x)) dans le repère Roxy Objet dessinable M, particularités: bleu foncé H projeté orthogonal de M sur ox Objet dessinable H, particularités: bleu, nom au-dessous, nom à gauche K projeté orthogonal de M sur oy Objet dessinable K, particularités: bleu ab abscisse de M (repère Roxy) or ordonnée de M (repère Roxy) ep1I réel libre de [-1,1] Objet libre ep1I, paramètre: 0.02379333582 Pas de pilotage au clavier de ep1I: 0.05 (modifiable) ep2I réel libre de [-1,1] Objet libre ep2I, paramètre: 0.58622839684 Pas de pilotage au clavier de ep2I: 0.025 (modifiable) ep1J réel libre de [-1,1] Objet libre ep1J, paramètre: -0.02848678082 Pas de pilotage au clavier de ep1J: 0.025 (modifiable) ep2J réel libre de [-1,1] Objet libre ep2J, paramètre: 0.26783960266 I point de coordonnées (1+ep1I,ep2I) dans le repère Roxy Objet dessinable I, particularités: ciel foncé, marque non dessinée J point de coordonnées (ep1J,1+ep2J) dans le repère Roxy Objet dessinable J, particularités: ciel foncé, marque non dessinée Segment [MH] Objet dessinable [MH], particularités: rose, tireté Segment [MK] Objet dessinable [MK], particularités: bleu, tireté Segment [oK] Objet dessinable [oK], particularités: rose, trait épais Segment [oH] Objet dessinable [oH], particularités: bleu, trait épais P point de coordonnées (1,2) dans le repère Roxy Objet dessinable P, particularités: rouge foncé, marque épaisse Droite (PH) A point de coordonnées (2,4) dans le repère Roxy Objet dessinable A, particularités: marque épaisse B point de coordonnées (0.5,-2) dans le repère Roxy Objet dessinable B, particularités: marque épaisse C point de coordonnées (-1,1) dans le repère Roxy Objet dessinable C, particularités: marque épaisse Hauteur de la zone des affichages: 35 Af0 affichage du texte: Abscisse de M : val(ab,2) Objet dessinable Af0, particularités: bleu Position de l'affichage Af0: (2,1) Af1 affichage du texte: Ordonnée de M : val(or,2) Objet dessinable Af1, particularités: rose Position de l'affichage Af1: (2,16) Cm0 (touche T) garder la trace de M Cm1 (touche N) quitter un mode trace Cm2 (touche C) dessin en bloc de Cf Objet libre actif au clavier: m Sélection pour trace: M Objets protégés: m, H, K, Cm0, Cm1, Cm2 Objets d'accès interdit: o, ox, oy, Roxy, vec(i), vec(j), Uoxy, time, I', J', f, Cf, L Objets d'accès interdit: L', x, M, ab, or, ep1I, ep2I, ep1J, ep2J, I, J, [MH], [MK] Objets d'accès interdit: [oK], [oH], A, (PH), Af0, Af1 A la place de H, afficher: val(ab,2) A la place de K, afficher: f(val(ab,2)) Options interdites: 2,3-3,3-4,3-5,3-6,3-7,3-8,3-9,3-10,4-1,4-2,4-3,4-4,4-5,4-6,4-7 Options interdites: 4-8,4-9,5-2,5-3,5-4,5-5,5-6,5-7,5-8,5-9,5-10,5-11,5-12,5-13,6 Commentaire Fin de la figure"

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