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<< 7. Résolution de l'équation sin(x) = b

Soit b un réel tel que –1 £ b £ 1. On cherche tous les réels x d'un intervalle donné I tels que sin(x) = b.

Résolution à l'aide du cercle trigonométrique et d'une figure Géoplan

• On détermine d'abord les points du cercle trigonométrique associés aux réels x tels que sin(x) = b. Ces points sont les points d'intersection du cercle trigonométrique et de la droite d'équation Y = b. (Se reporter à l'exercice du chapitre 2 intitulé "cosinus et sinus d'un réel".)
• Ensuite on cherche tous les réels x de l'intervalle I associés aux points précédemment trouvés.

Dans les figures 1 et 1 bis, on a créé le cercle trigonométrique C et le point M associé au réel x qui peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle I (la valeur de x peut être modifiée au clavier). Ce point servira à déterminer les solutions de l'équation proposée.

Exemple : résoudre l'équation sin(x) = 0,67 dans l'intervalle I = [-2p ; p ].
Pour voir l'exemple, cocher les cases ci-dessous dans l'ordre.

• Construire les points du cercle associés aux solutions.
• Faire parcourir à la variable x toutes les valeurs de I et noter au passage une valeur approchée de chaque solution.

^{Liste des solutions
:}

Figure 1

Exercice Créer dans la figure 1 les éléments utiles pour écrire dans le cadre ci-dessous la liste des solutions de l'équation sin (x) = -0,41 comprises dans l'intervalle I = [-p ; 3p ].

Pour chacune d'elles, on écrira une valeur approchée sous forme décimale ayant au plus deux chiffres après la virgule. Les différentes valeurs seront séparées par un point virgule.

^{Liste des solutions :}

Figure 1bis

Résolution algébrique On démontre le théorème :

Dans IR, sin(x) = sin(a) Û

Dans la figure 2, b est un réel, les points H et H' sont les points d'intersection de la droite d'équation Y = b avec le cercle trigonométrique. (On peut changer la valeur de b au clavier.) Dans IR , tous les réels associés à H et H' sont solutions de l'équation sin(x) = b.

Si a est l'un de ces réels, tous les autres s'écrivent a + k.2 p ou p– a + k'. 2p , k et k' entiers relatifs.

Figure2

Exemple : déterminer les solutions dans l'intervalle [–2p ; 2p ] de l'équation sin(x) = .

• On sait que = sin donc l'équation sin(x) = est équivalente à sin(x) = sin .
D'après le théorème cité, les solutions dans IR sont les réels : + k.2p et + k'.2p , k et k' étant des entiers relatifs.

• Pour trouver les solutions dans [-2p ; 2p ], on cherche les valeurs de k et k' qui vérifient :

– 2p £ + k.2p £ 2p et – 2p £ + k'.2p £ 2p .

Or – 2p £ + k.2p £ 2p Û £ k £ Û k = – 1 ou k = 0
et – 2p £ + k'.2p £ 2p Û £ k' £ Û k' = –1 ou k' = 0.

Donc les solutions de l'équation sin(x) =

dans l'intervalle [-2p ; 2p ] sont :

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