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l'Enseignement des
Mathématiques

Les fonctions cosinus et sinus
§6

Date de mise à jour : 1/1/2003

Classe

Prénom et Nom

Prénom et Nom

6. Résolution de l'équation cos(x) = a

Soit a un réel tel que –1 £ a £ 1. On cherche tous les réels x d'un intervalle donné I tels que cos(x) = a.

Résolution à l'aide du cercle trigonométrique et d'une figure Géoplan

• On détermine d'abord les points du cercle trigonométrique associés aux réels x tels que cos(x) = a. Ces points sont les points d'intersection du cercle trigonométrique et de la droite d'équation X = a. (Se reporter à l'exercice du chapitre 2 intitulé "cosinus et sinus d'un réel".)
• Ensuite on cherche tous les réels x de l'intervalle I associés aux points précédemment trouvés.

Dans les figures 1 et 1bis, on a créé le cercle trigonométrique C et le point M associé au réel x qui peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle I (la valeur de x peut être modifiée au clavier). Ce point servira à déterminer les solutions de l'équation proposée dans l'exemple puis dans l'exercice.

Exemple : résoudre l'équation cos(x) = – 0,35 dans l'intervalle I = [-p ; 2p ].
Pour voir l'exemple, cocher les cases ci-dessous dans l'ordre.

• Construire les points du cercle associés aux solutions.
• Faire parcourir à la variable x toutes les valeurs de I et noter au passage une valeur approchée de chaque solution.

^{Liste des solutions
:}

Figure 1

Exercice Créer dans la figure 1bis les éléments utiles pour écrire dans le cadre ci-dessous la liste des solutions de l'équation cos (x) = 0,62 comprises dans l'intervalle I = [-3p ; 2p ].

Pour chacune d'elles, on écrira une valeur approchée sous forme décimale ayant au plus deux chiffres après la virgule. Les différentes valeurs seront séparées par un point virgule.

^{Liste des solutions :}

Figure 1bis

Résolution algébrique On démontre le théorème :

Dans IR, cos (x) = cos(a) Û

Dans la figure 2, a est un réel, les points S et S' sont les points d'intersection de la droite d'équation X = a avec le cercle trigonométrique. (On peut changer la valeur de a au clavier.) Dans IR , tous les réels associés à S et S' sont solutions de l'équation cos(x) = a.

Si a est l'un de ces réels, tous les autres s'écrivent a + k.2p ou – a + k'. 2p , k et k' entiers relatifs.

Figure2

Exemple : déterminer les solutions dans l'intervalle [–3p ; 2p ] de l'équation cos(x) = .
• On sait que = cos donc l'équation cos(x) = est équivalente à cos(x) = cos .
D'après le théorème cité, les solutions dans IR sont les réels : + k.2p et + k'.2p , k et k' étant des entiers relatifs.

• Pour trouver les solutions dans [-3p ; 2p ], on cherche les valeurs de k et k' qui vérifient :

– 3p £ + k.2p £ 2p et – 3p £ + k'.2p £ 2p .

Or – 3p £ + k.2p £ 2p Û £ k £ Û k = – 1 ou k = 0

et – 3p £ + k'.2p £ 2p Û £ k' £ Û k' = –1 ou k' = 0 ou k' = 1.

Donc les solutions de l'équation cos(x) =

dans l'intervalle [-3p ; 2p ] sont :